К ВОПРОСУ О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 

Бойков Илья Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: boikov@pnzgu.ru
Кудряшова Наталья Юрьевна, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: math.kudryashova@yandex.ru
Шалдаева Анастасия Александровна, магистрант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: nastyashaldaeva@mail.ru 

519.64 

DOI

10.21685/2072-3040-2020-1-1 

Актуальность и цели. Работа посвящена исследованию множеств функций, в которых выполняется условие однозначной разрешимости вырожденных сингулярных интегральных уравнений. В настоящее время исследование многих разделов сингулярных интегральных уравнений можно считать в основном завершенным. Исключением являются сингулярные интегральные уравнения, обращающиеся в нуль на многообразиях с мерой, большей нуля. Построена теория сингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях, из которой следует, что, во-первых, вырожденные сингулярные интегральные уравнения имеют бесконечное число решений; во-вторых, для этих уравнений не справедливы первая и вторая теоремы Нетера. Но конкретные алгоритмы и приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях отсутствуют. В связи с тем, что вырожденными сингулярными интегральными уравнениями моделируются многие процессы в физике и технике, возникает необходимость в разработке приближенных методов их решения. Кроме того, так как в пространстве Гельдера и в пространстве L₂ функций суммируемых в квадрате вырожденные сингулярные интегральные уравнения имеют бесконечное число решений, возникает актуальная задача выделения множеств единственности решений этих уравнений, а также не менее актуальная задача построения приближенных методов их решения.
Материалы и методы. Для выделения классов функций, в которых вырожденные сингулярные интегральные уравнения имеют единственное решение, используются методы теории функций комплексной переменной, краевые задачи Римана и теория сингулярных интегральных уравнений. При построении приближенных методов используются итерационно-проекционные методы.
Результаты. Построены классы функций, на которых решения, если они существуют, определяются однозначно. В связи с этим предложена новая постановка решения вырожденных сингулярных интегральных уравнений. Предложены и обоснованы методы коллокации и механических квадратур решения вырожденных сингулярных интегральных уравнений на построенных классах функций.
Выводы. Предложенные результаты могут быть непосредственно использованы при решении многих задач физики и техники, в частности, в задачах интегральной геометрии, аэродинамики, гидродинамики. Представляет интерес распространение этих результатов на вырожденные полисингулярные интегральные уравнения. 

Ключевые слова

сингулярное интегральное уравнение, вырожденный случай, единственность решения, метод механических квадратур 

 Скачать статью в формате PDF

1. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – Москва : Наука, 1963. – 640 c.
2. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. – Москва : Наука, 1966. – 707 с.
3. Иванов, В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов. – Киев : Наукова Думка, 1968. – 288 с.
4. Гохберг, И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. – Москва : Наука, 1971. – 352 с.
5. Белоцерковский, С. М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях / С. М. Белоцерковский, И. К. Лифанов. – Москва : Наука, 1985. – 256 c.
6. Лифанов, И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И. К. Лифанов. – Москва : ТОО «Янус», 1995. – 520 с.
7. Mikhlin, S. G. Singulare Integraloperatoren / S. G. Mikhlin, S. Prossdorf. – Berlin, Acad. Verl., 1980. – 514 p.
8. Prossdorf, S. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations / S. Prossdorf, B. Silbermann. – Berlin : Acad. Verl., 1991. – 544 p.
9. Бойков И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. – 316 с.
10. Чикин, Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений / Л. А. Чикин // Ученые записки Казанского государственного университета. – 1953. – Т. 113, кн. 10. – С. 57 – 105.
11. Лаврентьев, М. М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений / М. М. Лаврентьев // Успехи математических наук. – 1979. – Т. 34, № 4. – С.143.
12. Лаврентьев, М. М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений / М. М. Лаврентьев // Сибирский математический журнал. – 1980. – Т. 21, № 3. – С. 225–228.
13. Бойков, И. В. Об одном исключительном случае сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков // Применение вычислительных методов в научно-технических исследованиях : межвуз. сб. науч. тр. – Вып. 6. – Пенза : Изд-во Пенз. политех. ин-та, 1984. – С. 3–11.
14. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях / И. В. Бойков, Н. Ю. Кудряшова // Дифференциальные уравнения. – 2000. – Т. 36, № 9. – С. 1230–1237.
15. Бойков, И. В. Приближенное решение амплитудной и фазовой проблем для одномерных дискретных отображений / И. В. Бойков, Я. В. Зелина // Вопросы радиоэлектроники. – 2017. – № 12. – С. 89–92.
16. Бойков, И. В. К решению амплитудно-фазовой проблемы / И. В. Бойков, Я. В. Зелина // Вопросы радиоэлектроники. – 2018. – № 12. – С. 64–68.
17. Гахов, Ф. Д. Уравнения типа свертки / Ф. Д. Гахов, Ю. И. Черский. – Москва : Наука, 1978. – 296 с.